© Юлия Глек, перевод и примечания, 2011.

ЧАРЛЬЗ АСТОР БРИСТЕД

CHARLES ASTOR BRISTED

ПЯТЬ ЛЕТ В АНГЛИЙСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

FIVE YEARS IN AN ENGLISH UNIVERSITY

(Избранные главы)

Перевод и примечания Юлии Глек

Оригинал здесь http://www.archive.org/details/fiveyearsinengli00brisuoft

Оглавление

Глава 17

Пудинг из опилок с балладным соусом

Πολύστονον δέ κληδόνʼ ἁρμόζων ἅμα

Μαθήματ᾽ ἤν γάρ ξύμμετρος παθήμασιν.

Μαθηματογονíα.

В соответствии с печальным предзнаменованием,

Наши уроки были соразмерны страданиям.

«Происхождение математики».

По возвращении в Кембридж ближе к концу июля мне посчастливилось попасть в «команду» превосходного репетитора, выпускника одного из «малых колледжей». У него было всего шесть учеников, и все они выпускались в этом году, причём пятеро из них были «низкопредметниками». Во время своего пребывания на Джерси я только ещё раз прошёл алгебру и теперь, начав заниматься плоскостной тригонометрией, решительно взялся за этот кошмар большинства «классиков» – подготовку к Математическому Трайпосу (Mathematical Tripos).

Когда был введён Классический Трайпос (Classical Tripos) (а это произошло весьма недавно – в 1824 году), в качестве необходимого условия для участия в нём сочли нужным оговорить, что предварительно кандидаты должны «получить степень с отличием по математике», что в данном случае звучит несколько курьёзно, поскольку для большинства из них это означает место среди Младших Оптим (Junior Optimes) – самого низшего класса. Сама идея этого ограничения, возможно, была подсказана условием, существовавшим ещё до этого и касавшимся присуждения Медалей Канцлера (Chancellor's Medals), кандидаты на которые должны были получить как минимум Старшую Оптиму (Senior Optime). Таким образом, Математический Трайпос фактически стал одновременно мерилом академических достижений для «математиков» и способом заработать допуск для «классиков», так как последних совершенно не волновало, окажутся ли они на одно или на двадцать мест выше или ниже в списке Младших Оптим; даже попадание или непопадание в Старшую Оптиму обычно мало что значит для «классика», если только он не является кандидатом на одну из Медалей Канцлера, поскольку по сравнению с местом, занятым на втором Трайпосе, это не играет никакой роли. Учитывая трудности, с которыми сталкивается большинство «классиков» при подготовке к экзамену по математике, и чуждость для них этого предмета, вполне очевидно, что выполнять свою функцию экзамена на допуск Математический Трайпос сможет лишь в том случае, если стандарт Младшей Оптимы будет очень низок по сравнению с тем, что ожидается от студентов, претендующих на достижения в математике и на степень с отличием по этой дисциплине. Вопросы по «низшим предметам»* содержатся, главным образом, в работах первого дня экзамена, но их достаточно для того, чтобы студент, который изучал только «низшие предметы», но изучил их отменно, мог попасть в Старшую Оптиму и даже занять там не последнее место. И порой это действительно случается, если удача благоволит к претенденту на степень с отличием по классической филологии, который изучал математику лишь затем, чтобы проскочить к Классическому Трайпосу. Но, поскольку по самому обширному из этих предметов даётся не больше шести-семи вопросов, несчастный, который потратил какое-то время на изучение одного из них, может всё-таки не ответить ни на один вопрос по нему. Если студент проваливается, то есть не набирает проходного балла, его виды на членство в колледже (Fellowship) обращаются в прах, потому что стипендиаты Тринити (Trinity Scholars), провалившиеся на экзамене, теряют свои стипендии. Человек десять-пятнадцать, едва-едва дотянувшие до стандарта, то есть сдавшие не настолько плохо, чтобы провалиться, но и не настолько хорошо, чтобы быть помещёнными в список отличий, оказываются в «бездне» (gulf) – так это называется в просторечии (экзаменаторы пользуются выражением «разрешено присвоить степень»): им присваивают степени, но не печатают их фамилии в «Кембриджском календаре», и в то время их также не допускали к Классическому Трайпосу. Таким образом, для студента одного из «малых колледжей» оказаться в «бездне» почти так же плохо, как провалиться, потому что это тоже уничтожает его шансы на членство, а вот угодивший в «бездну» стипендиат Тринити свою стипендию не теряет.

* «низшие предметы», которые готовят, чтобы попасть в Младшую Оптиму, включают в себя первые четыре книги Евклида, а также шестую и одиннадцатую; алгебру, включая логарифмы; плоскостную тригонометрию, конические сечения, первые три раздела книги Ньютона, статику, динамику, гидростатику и оптику, насколько это возможно без дифференциального исчисления, часто – сферическую тригонометрию и несколько реже – основы астрономии (прим. автора).

В то время это требование получения «классиками» степени с отличием по математике было, так сказать, великим вопросом университетской политики. Жалобы страдальцев могут быть кратко сформулированы следующим образом: «Это ограничение несправедливо по отношению к нам и ставит «математиков», для которых аналогичных требований не предусмотрено, в более выгодное положение. Правда, им приходится сдавать Предварительный экзамен (Little-Go), но все признают, что главная его трудность заключается в Пэйли (Paley), который труден для нас так же, как для них. Классическая часть этого экзамена бывает задана заранее и известна во всех подробностях задолго до него; это не более того, что человек со знаниями обычного школьника может подготовить за шесть недель; провал на этом экзамене не является чем-то непоправимым, а если студент проваливается (что случается очень редко) на первом Предварительном экзамене, он может сдать его в октябре, и это не ставит под удар его виды на будущее; и, наконец, этот экзамен имеет место в середине университетского курса и оставляет студенту-«математику» последние и самые важные двадцать месяцев для занятий его излюбленными предметами. В то же самое время, груз экзамена на степень с отличием по математике давит на нас именно тогда, когда нам более всего необходимо заниматься «классикой». Он очень обширен по охвату предметов и очень ограничен по количеству вопросов из каждого из них, поэтому, чтобы набрать нужное количество баллов, мы вынуждены готовить в два, а то и в три раза больший объём материала, чем это было бы необходимо, если бы области, из которых будут вопросы на экзамене, были более точно очерчены заранее, или если бы работы по «низшим предметам» были больше по размеру. Если из двух студентов, равных по своим способностям и знаниям в «классике», один обладает лучшими математическими способностями, чем другой, и поэтому может подготовить математику за четыре месяца, в то время как его сопернику потребуется для этого восемь, он получает перед ним преимущество в четыре месяца, которые может употребить на то, чтобы отшлифовывать свою «классику», так что в испытание по классической филологии вводится не относящийся к делу и несправедливый фактор. Если изучение какой-либо области знания и даёт право на привилегии, то как раз нашей, потому что, поступив в университет, мы продолжаем учёбу, в то время как многие «математики» только там её и начинают. Человек, начавший изучать математику одновременно с поступлением в университет, может стать Рэнглером (Wrangler). Но ни один из тех, кто прибыл в него, зная лишь начатки греческой грамматики, никогда не завоёвывал себе места ни в одном из классов Трайпоса. «Классик», провалившийся на экзамене по математике, теряет в том, что касается компенсации материальных затрат, плоды своего десятилетнего, если не больше, труда; «математика» никто не заставляет ставить под угрозу плоды его четырёхлетнего. Немалой обидой, хотя и не столь заметной по сравнению с некоторыми другими, является и то, что мы идём на этот экзамен, чтобы быть побитыми – наши имена публикуют в списках на месте «деревянной ложки» или чуть выше, и это на экзамене, который мы сдаём исключительно ради того, чтобы получить допуск к другому экзамену, хотя считается, что единственное его назначение – быть мерилом академических достижений, и это на самом деле так и есть для большинства его участников.

И всё же мы не жаловались бы на эти изъяны, если результат принудительного изучения математики себя бы оправдывал. Однако мы не только не видим никакой пользы для нашего умственного развития, которая проистекала бы из этого курса, а напротив, чувствуем, что действие его вредоносно. Мы бьёмся над замысловатыми теоремами, истинность которых охотно признаём, но не видим в них ни красоты, ни интереса. Разум отказывается воспринимать тошнотворную дозу, которую мы заталкиваем в свою память. Мы забываем «классику», не учась при этом математике. О том, что нам удаётся подготовить к экзамену, нельзя с полным правом сказать, что мы это знаем – мы просто учимся производить определённые действия, и, как только проходим ужасное испытание, для которого это нужно, всё выученное тут же извергается вон. Нашей первейшей задачей становится как можно скорее выбросить всё это из головы, чтобы она могла восстановить свой классический настрой».

На что доны-математики ответили бы – если бы вообще соизволили высказаться в устной или письменной форме, поскольку многие из них, чувствуя себя хозяевами положения, до объяснений не снисходят: «Целью университета является не вознаградить выдающийся талант в какой-либо узкой области, а предоставить полное и доскональное образование для умственных способностей. Математика столь же необходима для воспитания и развития рассудка, как «классика» – для воображения. Если для многих изучение математики начинается только после поступления в университет, тем больше у нас оснований компенсировать упущение публичных школ, которые, как это хорошо известно, пренебрегали и продолжают пренебрегать математикой. И именно то обстоятельство, что начатки математической науки приходится постигать уже здесь, как раз и делает этот предмет таким ненавистным для «классиков», по сравнению с языками, первоначальные трудности которых они преодолели давным-давно. Если они потрудятся припомнить начало своих школьных лет, они обнаружат, что страдали тогда над грамматикой и бессмысленными стихами на классических языках так же, как сейчас – над корнями и косинусами. Чтобы овладеть тем небольшим объёмом математики, который необходим, чтобы попасть в Младшую Оптиму, студенту потребуется самое большее девять месяцев из тридцати девяти, которые составляют университетский курс на степень бакалавра. Если после честных и усердных стараний овладеть им и бывают случаи провала, то они являются исключениями и проистекают от нервозности, невезения и других причин, точно таких же, как те, что порой отбрасывают кандидата на одну из Медалей Канцлера во Второй класс Трайпоса, и от которых невозможно уберечься ни при какой системе сдачи экзаменов. Более того, обязательное изучение математики даёт двойное моральное преимущество. Во-первых, оно обуздывает самонадеянность «классиков», которые склонны считать, что их знания обязательны для всех и являются единственным мерилом ума и способностей, путём демонстрации их собственной несостоятельности в столь же обширной и важной области интеллектуальной деятельности. Во-вторых, необходимость преодолеть трудности и выполнить неприятную задачу с помощью настойчивости и упорства даёт урок терпения  и уверенности в своих силах, который может очень пригодиться в последующей жизни!»

Полагаю, что члены Сената (Senate), поддерживающие это ограничение, посчитали бы вышесказанное вполне верным кратким изложением своих аргументов в его защиту. Спор этот можно вести очень долго, потому что нелегко найти судью одновременно и компетентного, и беспристрастного. Человеку с природным талантом к математике трудно поставить себя на место того, кто не обладает соответствующими способностями и питает к ней природное отвращение, чтобы оценить эффект от её обязательного изучения этим последним. С другой стороны, «классик» не имеет права заявлять, что математика для него бесполезна, не попытавшись сделать всё от него зависящее, чтобы её изучить. Я могу с полным правом утверждать, что сделал это. Моё первоначальное знакомство с Евклидом и алгеброй состоялось ещё в школе; затем я кое-как прошёл курс математики в Йельском колледже, так и не почувствовав, что получил от этого хоть какую-то пользу; затем я взялся за алгебру с самого начала во время триместра, предшествовавшего моим первым майским экзаменам в Тринити, и потерпел почти полную неудачу; в дальнейшем я возобновлял свою атаку на этот предмет ещё трижды, в последний раз – на протяжении шести месяцев подряд, и преуспел настолько, что сумел достичь своей цели и получить степень с отличием, – поэтому я со всей справедливостью могу сказать, что такая попытка была мною предпринята. И со всей правдивостью должен добавить, что в том, что касается интеллектуальной дисциплины или умственного развития, очень большая часть затраченного времени – и уж конечно практически всё, которое ушло на математический анализ – была потрачена мною впустую. Но поскольку единичный случай, какому бы тщательному исследованию он ни подвергся, может оказаться нетипичным и не подпадающим под общие правила, давайте внимательно рассмотрим точку зрения сторонников обязательного изучения математики до самого окончания университетского курса, а также влияние двух курсов, классического и математического, на развитие различных способностей.

Основополагающее утверждение о том, что математика развивает способности к рассуждению, а «классика» – к воображению (или же, как иногда говорят, «классика» учит изяществу, а математика – точности), является одним из тех стереотипных высказываний, которые огромное большинство людей принимает на веру, но которые не выдерживают внимательного рассмотрения. Фактически, оно не даёт верной характеристики ни одной из этих областей знания. Крайне сомнительно, что непосредственное изучение чего бы то ни было может развить способности к воображению – увеличить их изначальный запас, которым индивидуум обладает от природы, или привить их тому, у кого они отсутствуют. Если и существует наука, изучение которой вело бы к такому результату, то это, безусловно, не «классика», которая скорее развивает критический взгляд на предмет и подражание чужим образцам, а не создание чего-то нового. Если понимать воображение как изобретательность или самобытность, то оно имеет большее отношение к изучению математики; и если эту изобретательность, которая проявляется в решении задач и т.д., можно развить путём занятий и тренировок у тех, кто лишён её от природы, тогда следует говорить, что как раз математика, а не «классика», развивает воображение. Утверждение о том, что изучение «классики» воспитывает воображение, – другое дело, и я считаю, что оно соответствует истине. Такие занятия прививают вкус и стиль, их роль по сути своей эстетическая. Если меня спросят, какая от них польза, я в первую очередь назову это, а во вторую – то, что обычно приписывается математике – точность и аккуратность в рассуждениях. То, что математические теоремы в большинстве случаев являют собой образцы идеальных доказательств и безупречных умозаключений, говорит в этом отношении скорее не за них, а против. Как общее правило, в математических умозаключениях нет оттенков: доказательство является либо истинным, либо ложным. Правда, иногда к нему можно прийти разными путями, но это отдельные процессы, а не видоизменения одного и того же. Двум главным видам рассуждений, которые встречаются в практической жизни и нам необходимы, – распознанию квазисинонимов* и оценке вероятности – математика не учит. Тонкости и нюансы классических языков, в особенности греческого синтаксиса, гораздо более пригодны для того, чтобы научить точности в её практическом аспекте.

* Квазисинонимы – слова, близкие по значению, но взаимозаменяемые не во всех контекстах (синонимы должны быть взаимозаменяемы в любом контексте).

Каковы же тогда качества ума, которые наиболее необходимы и наиболее задействованы при изучении математики? Оставляя в стороне уже упомянутую изобретательность, которая, как многие, наверное, согласятся, является скорее предпосылкой, чем результатом её успешного изучения, на этот вопрос я бы ответил так: это последовательность и сосредоточение, и я полагаю, что тем, кто не способен изучить математику, как правило, не хватает именно этих качеств. Что касается меня, то самые большие мои затруднения при изложении какой-либо темы всегда бывают связаны именно с недостатком упорядоченности и систематической последовательности идей, – мне трудно решить, какая мысль должна идти первой и как соединить разные разделы. Это настолько характерно для меня, что, когда я был моложе, обычно писал сочинения фрагментами, которые затем соединял вместе, как получалось; и даже теперь, о чём бы я ни писал, мне постоянно приходится выбрасывать что-то, имеющее отношение к предмету, просто потому, что не удаётся найти подходящего места, куда бы это вставить. Ещё одна большая трудность – это недостаточное сосредоточение, неспособность фиксировать внимание на одном предмете за раз до тех пор, пока я с ним не покончу. При этом одной из существеннейших черт математического доказательства является систематическая последовательность шагов, которые идут один за другим в определённом порядке; расстройте этот порядок, и доказательство будет не просто искажено, а полностью уничтожено. Правда, иногда, когда ответ известен заранее, можно начать с обоих концов и продвигаться, пока они не встретятся, но и тогда это движение в обе стороны имеет упорядоченный и методический характер. В равной степени справедливо и даже естественным образом вытекает из этого то, что математическое доказательство требует сосредоточенного и безраздельного внимания; другое дело «классика», в которой вы можете прочесть отрывок с непонятной строкой или предложением, перескочить через него и идти дальше, а позже вернуться к этому затруднению.

Но в таком случае возникает естественный вопрос: если такие в высшей степени желательные качества, как последовательность и сосредоточение, особенно сильно задействованы в математике, то разве её изучение не является исключительно полезным? Я не склонен преуменьшать трудности, связанные с поиском ответа на этот вопрос, и едва ли могу надеяться, что мой ответ удовлетворит читателей, потому что он не вполне удовлетворяет даже меня самого. Будучи твёрдо убеждён в том, что вся математика, которую я изучил после определённого предела, была пустой тратой времени, я всё же не могу объяснить так внятно, как мне хотелось бы, почему так произошло со мной и происходит со всеми людьми со сходными особенностями интеллекта.

Одно лежит на самой поверхности и сразу бросается в глаза – непреодолимое отвращение к изучению математики, которое чувствует человек, принадлежащий к этому классу (а я включаю в него не только тех, кто, как я, еле-еле протиснулся через этот экзамен, но и тех, кому за счёт чистой зубрёжки или везения удалось попасть в Старшую Оптиму). Он не может внушить себе, что это занятие ему интересно. Когда ему удаётся совершенно правильно вывести длинную формулу, он не чувствует такого удовлетворения, как тогда, когда ему удаётся сочинить хорошие стихи на классическом языке, или сделать изящный перевод, или написать эссе, которое ему нравится. Единственное, что его радует – это что ему удалось написать всю эту ерунду. Это отвращение невозможно полностью объяснить уязвлённым тщеславием или подавленностью из-за отсутствия успехов, потому что во многих случаях оно лишь усугубляется по мере продвижения вперёд. Меня никогда так не тошнило от одного только вида книги по математике, как перед самым экзаменом на степень, когда моё знание этой дисциплины было лучше, чем когда-либо до или после, – если только слово «знание» применимо к количеству математики, которое требуется для того, чтобы пройти в Младшую Оптиму. Но истина заключается в том, что такой человек никогда не знает и не может знать математику по-настоящему. Чужеродный материал, который разум заставили воспринять насильно, никогда не ассимилируется и не становится его органичной составляющей, никогда не вспоминается бессознательно и не становится частью привычных ассоциаций. Он лишь временно удерживается на месте путём непрекращающихся умственных усилий; как только они ослабевают, он пропадает, и разум не делает никаких попыток удержать его. На экзамен по математике такой человек смотрит как на своего рода сражение с экзаменаторами, в котором он должен, в зависимости от обстоятельств, попасть в Младшую или в Старшую Оптиму с наименьшими затратами труда и хлопот; случись ему занять высокое место в Старшей Оптиме и оставить многих позади, он, конечно же, радуется, но воспринимает это скорее как шутку над экзаменом, как некую иронию судьбы, – везение, но совсем не повод для гордости. Известны случаи, когда студенты-«классики»  с помощью счастливого сочетания труда и удачи занимали места в самом верху списка Старшей Оптимы, опередив при этом нескольких кандидатов в Рэнглеры, а на экзамене на членство в Тринити девять месяцев спустя не делали по математике ничего вообще. И не только прогресс в этом чуждом им по духу деле является медленным, мучительным и труднодостижимым, он ещё отнюдь не укрепляет ум ученика для более родственных ему занятий, а напротив, ослабляет и разбалансирует его. Корпение над математикой не только утомляет, но и безнадёжно запутывает не-математика, доводя его до состояния, при котором невозможно никакое  умственное усилие. Общей жалобой со стороны студентов, готовивших математику для экзамена на стипендию Тринити (Trinity Scholarship) или проходивших через ещё более длительное испытание этим предметом для Сенат-Хауса (Senate-House), было то, что им требовалось потом несколько дней, чтобы восстановить умственную работоспособность и настрой для дальнейших занятий «классикой». В самом деле, прохождение курса математики не-математиком всегда кажется попыткой привить разуму новые свойства, а не развить те, которые уже имеются. Вне всякого сомнения, способность изучить математику по-настоящему является pro tanto* преимуществом, а если человек при этом ещё и обладает необходимыми данными для того, чтобы стать хорошим филологом-классиком, то вполне очевидно, что такой ум более ценен, чем тот, который пригоден для одной лишь классической филологии. Но если человек не обладает такими способностями и после нескольких бесплодных попыток и восьми-девяти месяцев заключительной зубрёжки способен достичь всего лишь Младшей Оптимы, quaere**, разве он не с большей пользой потратил бы это время, занимаясь тем, что ему больше по вкусу и в чём он смог бы добиться несравненно больших успехов? К тому времени, когда юноша достигает возраста восемнадцати-девятнадцати лет, – при условии, что он получил более-менее приличное подготовительное образование – он уже успевает понять, к чему способен, а к чему – нет, и в чём заключаются его сильные стороны, поэтому наиболее целесообразным с точки зрения экономии сил индивидуума является максимально полное использование тех способностей, которые у него имеются в наличии.

* pro tanto (лат.) – пропорционально, соответственно.

** quaere (лат.) – спрашивается.

Аргументам морального характера в пользу математики, хотя некоторым они и могут показаться насмешкой, я склонен со всей серьёзностью придавать большое значение. Я с готовностью признаю, что студенты-«классики», обожающие свой излюбленный предмет, гордые своими высокими достижениями в нём и считающие их вершиной, которую невозможно превзойти, часто поддаются соблазну смотреть на классическую филологию как на единственное и величайшее мерило ума и способностей, и для них может оказаться благотворным выйти в другую интеллектуальную область и обнаружить, что в ней они не более чем дети. В равной степени следует признать пользу, проистекающую от длительного преодоления трудностей и выполнения неприятной обязанности. Прикладываемые при этом усилия учат терпению во время этих занятий и придают здоровую уверенность в себе по их завершении. Но не следует забывать, что здесь присутствует и моральный вред. В качестве такового можно назвать серьёзную угрозу душевному равновесию, которую причиняют математические невзгоды. Вызываемые ими сварливость и раздражительность стали притчей во языцех; и в самом деле, всегда можно было сказать, находится ли студент-«классик» в процессе подготовки к экзамену по математике, просто понаблюдав за его поведением. Нужно упомянуть также и об общем чувстве несправедливости, как будто нас приносят в жертву «математикам», а обязательная сдача экзамена по математике – это нечто вроде премии или охранной грамоты для них за наш счёт, и в некоторых случаях страсти накалялись настолько, что дело доходило чуть ли не до личной вражды. Я сам слышал, как один студент сказал, что ему хочется выйти во двор и пнуть первого попавшегося «математика».

Несомненным и неоспоримым следствием этого ограничения на доступ к экзамену на степень с отличием по классической филологии в Кембридже является то, что определённое количество студентов не притязает на степень с отличием вообще. Как правило, это не самые лучшие «классики», потому что в их случае на кон поставлено столько, что ради этого стоит приложить большие усилия, а те, кто мог бы занять места в конце списка Первого класса или в начале Второго. Допустим, такой студент более-менее регулярно занимался два с половиной года, и примерно в то время, когда студенты на курс старше него готовятся вот-вот испытать судьбу, он начинает серьёзно размышлять о своих собственных перспективах и видах на будущее. Он спрашивает совета у своего репетитора, и тот говорит: «Вы сможете попасть в Первый класс, если будете работать; для этого вам нужно в течение следующего года заниматься по столько-то часов в день». Студент отправляется к своему репетитору по математике, чтобы узнать, сколько времени потребуется на подготовку к «степени с отличием по математике». Тот, после необходимой проверки глубины невежества своего ученика, сообщает ему, что понадобится столько-то часов ежедневно на протяжении двух или трёх триместров. С этим известием наш третьекурсник отправляется обратно к репетитору-классику, который отвечает: «Если дело обстоит так, если вы должны будете выбросить столько времени на математику, ваш Первый класс окажется под угрозой, так что в целом я советовал бы вам выпускаться со степенью без отличия. Если нет полной уверенности, что удастся добиться отличия Первого класса, нет смысла проходить через все тяготы подготовки к экзамену по математике, рискуя угодить потом во Второй класс» (у самого репетитора, вероятно, сохранились живейшие воспоминания о своих собственных мучениях, в результате которых ему удалось оказаться на восемь или десять мест выше «деревянной ложки»). Ученик следует его совету, прекращает готовиться к экзамену на степень с отличием и выпускается с обыкновенной степенью, иначе говоря, весь свой последний год в колледже не делает ровно ничего.

Я сказал, что это неоспоримо. Однако утверждают, что это компенсируется значительным увеличением численности участвующих в Математическом Трайпосе за счёт тех, кто без этого принудительного ограничения в нём не участвовал бы. Но у нас есть веские основания сомневаться, что эти добровольцы поневоле делают Математическому Трайпосу такую уж большую честь или приносят хоть какую-то пользу. Совершенно очевидно, что они понижают стандарт этого экзамена, то есть стандарт его низших мест, и, возможно, именно поэтому его низшие места так мало ценятся по сравнению с соответствующими местами Классического Трайпоса, например, Старшая Оптима по сравнению со Вторым классом по «классике». Если бы Математический Трайпос ограничивался одними лишь «математиками», разрыв между стандартом для Рэнглеров и прочих классов стал бы меньше, а низшие места на этом экзамене считались бы более почётными, чем теперь, и больше бы соответствовали аналогичным местам Классического Трайпоса.

Какой же вывод можно сделать из вышесказанного? Значит ли это, что для обширного класса студентов математика не только бесполезна, но и вредна, и что её следует полностью изгнать из их образования? Что в Кембриджском университете было бы желательно снять все ограничения на участие в Классическом Трайпосe и разрешить «классикам» сдавать экзамен на степень, не изучив ни строчки из математики? Ни в коем случае. Ни один студент, изучающий свободные искусства*, не должен оставаться без некоторого опыта в такой своеобразной и обширной области интеллектуальной деятельности, как математика, даже если этот опыт у него никогда не перерастёт в знание. Необходимо также помнить, что мальчик не может ещё верно судить о том, к чему он способен, а к чему нет, и лишь в более зрелом возрасте студент имеет возможность делать выводы о свойствах и развитии своего ума, выбрать его сильную сторону и отбросить то, что не даёт плодов. Я склонен думать, что при условии, если мальчик начинает изучать мёртвые языки в возрасте одиннадцати-двенадцати лет (а это достаточно рано), он вполне может начать изучать Евклида на год позднее, а алгебру в четырнадцать-пятнадцать лет, и начиная с этого возраста в течение двух или трёх лет посвящать математике столько времени, сколько сейчас обычно посвящается ей в наших американских колледжах, то есть от четверти до трети учебного времени. Но если по истечении этого периода окажется, что успехи его малы и интереса к этой науке он не проявляет, ему следует предоставить возможность сдать выпускной экзамен по низшим разделам математики и в возрасте восемнадцати лет распроститься с точными науками. Здесь, опять-таки, необходимо помнить, что математика математике рознь. То, что геометрия, как правило, более популярна и легче усваивается, чем математический анализ, – факт, хорошо знакомый всем, кому приходилось иметь дело с образованием, основанным на изучении свободных искусств. Своё простейшее выражение эта истина находит в предпочтении, которое оказывают Евклиду перед алгеброй школьники и первокурсники, а также в том, что в нём они быстрее продвигаются вперёд. Большие возможности, которые открывает овладение математическим анализом, делают его более предпочтительным для тех, у кого имеются высокие математические амбиции, но в качестве фиксированного элемента общего образования ему следует предпочесть геометрию.

** свободные искусства – семь «свободных искусств», изучение которых лежит в основе концепции западноевропейского университетского образования, которая сформировалась в средневековье и уходит корнями ещё глубже, в античность. В Древнем Риме «свободными искусствами» называли занятия, достойные свободного человека, в отличие от физического труда, которым занимались рабы. В средневековых университетах свободные искусства делились на тривий (Trivium) – грамматика, риторика, диалектика, и квадривий (Quadrivium) – музыка, арифметика, геометрия, астрономия. Изучение тривия предшествовало изучению квадривия.

Что же касается курса, наиболее желательного для Кембриджа, то хорошо известно, что многие молодые люди поступают в университет, не имея никаких знаний по математике, кроме очень незначительного объёма алгебры и Евклида. В отдельных колледжах существует мудрое установление экзаменовать студентов по истечении первых восьми месяцев учёбы по этим низшим дисциплинам с добавлением плоскостной тригонометрии; таким образом, новичку даётся достаточно времени, чтобы овладеть начатками этих наук, не пренебрегая при этом «классикой». К этому сроку студент с помощью своего репетитора уже успевает как следует попробовать свои силы в математике и выяснить, сможет ли он продолжать занятия ею с пользой и удобством для себя, или же не сможет. Поэтому было бы справедливо и полезно для всех заинтересованных лиц сдавать математику в ходе Предварительного экзамена (Little-Go); иными словами, нужно требовать на нём от всех студентов такого объёма знаний по низшей математике, который мог бы считаться необходимым минимумом, а затем предоставить «классикам» изучать их собственную область и совершенствоваться в ней без помех на протяжении последних полутора лет.

Главными трудностями, на которые жаловались тогда «классики», было, во-первых, то, что требования для экзамена на степень с отличием по математике были слишком расплывчатыми, так что нельзя было с точностью рассчитывать на его сдачу, и, во-вторых, то, что он проходил как раз в самое неудобное для них время. Первое из этих двух зол было в значительной степени исправлено через несколько лет, и вполне вероятно, что и вторую жалобу сумеют устранить в не столь уж отдалённое время.

После объявления результатов экзамена на стипендию (Scholarship examination) многие друзья советовали мне отказаться от участия в экзаменах на степень с отличием и, так сказать, выйти из игры красиво и с гордо поднятым флагом. Но у меня было несколько мотивов для того, чтобы попытаться получить степень с отличием. Отчасти причиной были рыцарские побуждения: мне хотелось дать одному-двум студентам, которых я опередил на экзамене на стипендию, шанс поквитаться со мной на Трайпосе. Более существенной причиной было естественное любопытство: мне хотелось испытать свои знания и с большей точностью узнать, какое положение я занимаю среди других «классиков». Отчасти из-за недостатков предшествующей подготовки, отчасти из-за нерегулярных и часто прерывавшихся занятий, состояние моей «классики» было крайне неровным: в некоторых отношениях она была очень хороша, зато в других её едва хватило бы на то, чтобы вообще попасть в список степеней с отличием. Ни я сам, ни другие не могли с точностью определить моё вероятное место, а вердикт репетитора по «классике», вынесенный прошлой зимой, уже до некоторой степени не оправдался. Более того, мне действительно очень хотелось получить отличие Первого класса, и хотя я не собирался рисковать ради него здоровьем, но считал, что оно стоит труда и риска провалиться. Но более всего здесь сыграло роль задетое самолюбие. Общее мнение склонялось к тому, что я не смогу сдать этот экзамен. То есть, как сказал репетитор по математике, в «команде» которого я безуспешно пытался заниматься ею прошлым летом, «не то чтобы вы были неспособны сдать его, просто вам надоест, вы пресытитесь и забросите работу до срока». Вот по этой-то причине я и принял решение сдать его обязательно. Из своей поездки на Джерси я вывез только открытие, что окреп достаточно, чтобы ездить верхом, и это послужило мне достаточным утешением за все математические злоключения. После трёх, четырёх, пяти утренних часов, потраченных на зубрёжку, нервотрёпку и переписывание, каким огромным наслаждением было сесть на чистокровную кобылу и скакать галопом по гладкому, как ковёр, дёрну, которого не увидишь больше нигде, кроме Англии. Обычно меня сопровождал один мой друг, который не собирался сдавать экзамен на степень с отличием, но остался на эти длинные каникулы в колледже, чтобы изучать древнееврейский, как говорил он сам, – хотя злые языки утверждали, что совсем по другой причине.

Но даже вновь обретя своё любимое развлечение после трёх лет воздержания от него, было трудно не пасть духом под бременем математики. Ощущение было в точности такое, как будто бы ешь опилки. Мой разум не извлекал ни удовольствия, ни пищи из тех неудобоваримых предметов, которые ему подсовывали, и это притом, что я работал не более четырёх часов в день, порой даже меньше. Но эти несколько часов изматывали меня так, как не измотало бы и вдвое большее время, потраченное на занятия, более родственные моей душе. Предположительно у меня оставалось время для «классики», и мой друг из Пемброка, который руководил теперь славной маленькой «командой» из трёх или четырёх репетируемых, умолял меня присоединиться или, по крайней мере, приходить на их экзаменовки, которые происходили по субботам. Но я был вынужден отклонить это предложение. Чтобы сохранить в себе достаточно сил для того, чтобы пройти через Сенат-Хаус, мне было необходимо воздерживаться от любого систематического и напряжённого труда в течение остального дня. Было также желательно как можно больше отдыхать. Я перечитал горы старинных баллад и романтической поэзии – Мазеруэлла*, Шелли, мисс Баррет**, иногда – Гомера, и старался как можно дальше оторваться от неприятных каждодневных трудов с иксом и игреком, воспаряя в воздушную страну фантазии и рифмы. И всё же сама человеческая природа противилась тому, чтобы «классик», живя среди себе подобных и зная, что у него под боком дюжина или больше человек штудирует «классику» изо всех сил, долго переносил полную разлуку со своими латинскими и греческими книгами. Моя библиотека помещалась в маленькой комнатке, которая в зимнее время служила мне кабинетом. В летней комнате находилась лишь большая конторка, пачка бумаги и полдюжины необходимых книг по математике. Мудрая предосторожность, но надолго её не хватило. Сначала я допустил Гомера в круг своего послеобеденного чтения наравне со старинными английскими балладами. Затем, мне очень хотелось хорошо написать греческую прозу на Трайпосе, а для этого нужно было как следует поднатореть в ней, да к тому же мне нравилось переводить, а Трэвис когда-то говорил мне, что наилучший путь к лёгкости и изяществу в этом деле – чтение хорошей греческой прозы, например, «Государства» Платона, – и вот я последовал его совету, au pied de la lettre***, и начал читать «Государство» ежедневно по часу после завтрака, перед математикой. Таким манером я одолел пять её книг. После прочтения двух или трёх у меня появилось искушение попробовать себя в переводе на греческий, и по тем дням, когда мне не нужно было писать работу по математике со своим репетитором, я стал работать над греческой прозой, стремясь, в основном, к увеличению темпа, пока, наконец, не наловчился укладываться в отводимое на экзамене время. Как оказалось позднее, это была не лучшая затея, потому что, стремясь в первую очередь к быстроте и уж потом к изяществу слога, я стал пренебрегать правильностью синтаксиса и строить неверные или неуклюжие конструкции. Все свои переводы (а я не ограничивался одной только греческой прозой) я записал в книжку для того, чтобы в дальнейшем их исправить, но промежутка в три недели между Трайпосами оказалось совершенно недостаточно для стирки всего этого грязного белья, это создало бы неудобства моему репетитору и не принесло бы пользы мне самому. Если бы я потратил меньше времени на занятия переводом на классические языки, но делал это не спеша и более тщательно под руководством репетитора, мои дела могли бы обернуться лучше. Но мне не давала покоя боязнь, что я не смогу ограничивать себя в занятиях «классикой», если начну заниматься с репетитором, да и мои друзья-«математики» уверяли, что я совершенно прав. «Если вы попытаетесь продолжить занятия «классикой» с репетитором, – говорили они, – то можете расстаться с надеждой сдать математику».

* Мазеруэлл (William Motherwell, 1797 – 1835) – шотландский поэт, журналист и собиратель древностей. Кроме сочинения собственных стихов, собирал и издавал старинные шотландские баллады.

** мисс Баррет – больше известна как Элизабет Баррет Браунинг (Elizabeth Barrett Browning, 1806 – 1861). Принадлежала к числу наиболее выдающихся поэтов викторианской эпохи.

*** au pied de la lettre (фр.) – буквально.

К чему же сводится этот мучительный математический курс? Насколько он велик? Кое-какие намётки касательно его объёма и плана уже приводились выше, давайте же теперь остановимся на этом более подробно.

Студент, который претендует лишь на то, чтобы как-нибудь сдать этот экзамен, которого устроит любое место – на худой конец даже «деревянная ложка» (а зачастую оно устраивает его ничуть не меньше, чем любое другое, в особенности если его можно получить с меньшими затратами времени и труда) –  готовит предметы, которые в общих чертах описываются как «всё до дифференциального», однако характеристика эта не слишком точна, потому что некоторые темы, такие как теория уравнений в алгебре или начала астрономии, не имеют никакого отношения к дифференциальному исчислению, и тем не менее нечасто входят в программу подготовки будущих Младших Оптим. То, что готовил я, представляет собой образчик обычной программы, а именно:

Евклид, первые четыре книги, а также шестая и одиннадцатая.

Алгебра до теории уравнений включительно.

Плоскостная тригонометрия.

Сферическая тригонометрия.

Ньютон, Principia: первые три раздела.

Конические сечения.

Статика.

Динамика.               – насколько это возможно без дифференциального исчисления.

Гидростатика.

Оптика.

[В последние четыре предмета входят описания приборов, – их «классикам» сам Бог послал.]

 Всего десять предметов.

Необходимо иметь в виду, что большая часть этих предметов трактуется совсем иначе, чем у нас в Америке. Так, например, в тригонометрии синусы, косинусы и т.д. – это не линии, а отношения. Конические сечения изучаются исключительно с аналитической точки зрения; хотя к каждой теме может быть дана «картинка», соотношения линий полностью выражаются алгебраическими формулами. Если бы не периодические появления терминов «парабола» и «эллипс», новичок, который до этого учился по учебнику Бриджа*, ни за что не догадался бы, читая Гамильтона**, что они писали об одном и том же. Поскольку «классики» за очень редким исключением охотнее изучают геометрию, чем математический анализ, это создаёт для них дополнительные трудности.

* никаких следов американского математика, который жил бы в соответствующий исторический период, носил фамилию Бридж и писал учебники по коническим сечениям, обнаружить не удалось. Остаётся лишь предположить, что имеется в виду Бьюик Бридж (Bewick Bridge, 1767 – 1833) –британский математик и священнослужитель Церкви Англии, закончивший кембриджский колледж Питерхаус и ставший в 1790 г. Старшим Рэнглером и обладателем первой Награды Смита. Он был автором работ по различным разделам математики, в том числе и по коническим сечениям. Возможно, преподаватели американских колледжей предпочитали его учебники всем прочим. 

** по меньшей мере два Гамильтона соответствующего исторического периода подвизались на поприще конических сечений. Хью Гамильтон (Hugh Hamilton, 1729 – 1805) – ирландский епископ и математик, закончил дублинский Тринити-колледж, членом которого был впоследствии. Является автором трудов по математике и богословию. Самая известная работа – «Геометрический трактат о конических сечениях» (1758). Был также Генри Парр Гамильтон (Henry Parr Hamilton, 1794 – 1880), автор ряда работ по математике, в том числе и по коническим сечениям, и настоятель собора в Солсбери с 1850 по 1880 г. Вероятно, это и есть автор учебника по коническим сечениям, который был в ходу в Кембридже 1840-х годов.

С другой стороны, признаётся, что подготовка предмета к экзамену не предполагает знания каждой страницы и каждой темы из обычных учебников по нему. Поскольку существует определённый ряд вопросов, которые бывают на каждом экзамене, они помечаются как обязательные для изучения, а другие – как то, что можно опустить (соответственно, R. (Read, учить) и O. (Omit, пропустить) в виде карандашных пометок на полях). Как мы видим, здесь многое зависит от опыта и суждений репетитора. Однако не следует думать, что этому экзамену недостаёт неопределённости. Допустим, к примеру, что существует семьдесят пять тем по коническим сечениям, из которых обычно даются вопросы на Математическом Трайпосе, и что среднее количество этих вопросов семь; вполне очевидно, что разброс довольно велик. Чтобы быть уверенным в том, что он ответит на два вопроса по сферической тригонометрии в утренней работе первого дня экзамена, кандидату нужно одолеть сорок страниц мелким шрифтом. Затем, кроме учебников, существуют ещё и рукописи, в которых содержатся различные варианты и методы, которых в книгах нет. С ними приходится сталкиваться каждому студенту на том или ином этапе прохождения курса математики. В Евклиде и Ньютоне никаких отклонений не допускается, но в других вопросах студенты могут порой продемонстрировать таким образом свою неординарность. А в целом можно сказать, что подготовка предмета к экзамену равносильна изучению одного из обычных учебников по этому предмету.

Библиотека, которая требуется для прохождения такого курса, не так уж велика. По каждому из предметов, которые входят в его состав, существует две-три книги, написанные донами-математиками. Все они годятся одинаково, а предпочтение отдаётся в зависимости от вкусов того или иного репетитора или предыдущих покупок того или иного студента. Мой запас состоял из Евклида, уж не помню под чьей редакцией, «Алгебры» Вуда* и Хайнда**, «Тригонометрии» Сноуболла***, «Конических сечений» Гамильтона, «Статики» Ирншоу****, «Динамики» Ирншоу, «Гидростатики» Миллера*****, «Оптики» Гриффина******, ещё двух-трёх элементарных работ по механике (одна из них принадлежала перу доктора Хьюэлла (Whewell)) и двух рукописных томов. В дополнение к этому я взял взаймы огромный том, озаглавленный «Механическая философия» Пратта*******. Большая часть этих книг была куплена с рук, некоторые с четвёртых или пятых рук, – унижение, которое редко выпадает на долю книг по «классике».

* Вуд (James Wood, 1760 – 1839) – британский математик и священнослужитель Церкви Англии. Сын ткача. Закончил кембриджский Сент-Джонс-колледж. Старший Рэнглер 1782 г. В течение шестидесяти лет был сначала членом, а затем главой Сент-Джонс-колледжа. Автор нескольких популярных учебников математики. С 1820 г. и до смерти – настоятель собора в городе Или. Похоронен в часовне Сент-Джонс-колледжа, которому завещал свою библиотеку (около 4500 томов).

** Хайнд (John Hind, 1796–1866) – британский математик. Закончил кембриджский Сент-Джонс-колледж. Второй Рэнглер и обладатель второй Награды Смита 1818 г. Был избран членом колледжа, принял духовный сан, но через некоторое время отказался от членства. Занимался частным репетиторством. Автор ряда учебников по математике.

*** Сноуболл (John Charles Snowball) – член Сент-Джонс-колледжа, автор трудов по математике и физике, в том числе «Основ плоскостной и сферической тригонометрии».

**** Ирншоу (Samuel Earnshaw, 1805 – 1888) – британский математик, физик, священнослужитель Церкви Англии. Закончил кембриджский Сент-Джонс-колледж. Старший Рэнглер и обладатель первой Награды Смита 1831 г. После окончания колледжа занимался частным репетиторством, затем стал священником в одном из кембриджских приходов, позднее вернулся на родину, в Шеффилд, где также был священником. Опубликовал ряд работ по математике и физике, а также проповедей и богословских трактатов. Известен главным образом теоремой Ирншоу о неустойчивости равновесия конфигурации точечных зарядов. 

***** Миллер (William Hallowes Miller, 1801 – 1880) – британский минералог и кристаллограф. Закончил кембриджский Сент-Джонс-колледж. Пятый Рэнглер 1826 г. С 1829 г. – член Сент-Джонс-колледжа, в течение нескольких лет занимал в нём должность наставника (tutor) и за это время написал ряд работ по гидростатике и гидродинамике. С 1832 по 1870 г. – профессор минералогии Кембриджского университета. В его честь назван минерал миллерит и индексы Миллера, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле.

****** Гриффин (William Nathaniel Griffin, ? – 1892) – британский математик и священнослужитель Церкви Англии. Закончил кембриджский Сент-Джонс-колледж. Старший Рэнглер и обладатель первой Награды Смита 1837 г. В 1837 – 1849 гг. наставник (tutor) Сент-Джонс-колледжа. Автор ряда работ по математике и физике, среди них «Трактат по оптике» (1842 г.). С 1848 по 1892 г. – викарий одного из приходов в Кенте.

******* Пратт (John Henry Pratt, 1809 – 1871) – британский математик, священнослужитель Церкви Англии. Закончил кембриджский Киз-колледж. Третий Рэнглер 1833 г. В 1838 г. назначен капелланом Британской Ост-Индской компании, с 1850 г. – архидиакон Калькутты. Основная работа – «Математические принципы механической философии» (более 600 страниц). Предложил теорию равновесия земной коры.

Порядок работы примерно следующий. Поскольку экзамен этот письменный, то и подготовка к нему включает в себя сходную процедуру. Поэтому вы договариваетесь со своим репетитором, исходя из его представлений о том, что вы должны выучить, и ваших – о том, что вы можете или собираетесь выучить, что к завтрашнему или послезавтрашнему дню вы приготовите тему «Эллипс», или первый раздел из Principia, или всю алгебру, или что-то ещё, и в этот день он даёт вам письменную работу у себя на квартире. Состоит она из десяти-пятнадцати вопросов по оговоренной теме, которые могут быть составлены им самим, а могут быть взяты из старых экзаменов колледжа. Вы делаете её настолько полно, насколько можете, и настолько быстро, как можете, и оставляете свои листы репетитору, чтобы он мог проверить их в ваше отсутствие, а на следующий день он объясняет вам ваши ошибки. Объяснять все трудные места в учебниках, конечно, тоже его обязанность, но встречаются они нечасто; трудность обычно не в том, чтобы понять, а в том, чтобы запомнить.

Насколько глубоко кандидат знакомится с этими предметами, которые, как мы уже упоминали, он не может как следует знать? Если его временное овладение ими будет полным, то есть, если он сможет дать правильные ответы на все теоретические вопросы по этим предметам, он сумеет набрать достаточное количество баллов, чтобы попасть в нижний конец списка Старшей Оптимы, даже в том случае, если не решит ни одной задачи. Но, как легко предположить, этого, как правило, никогда не случается: такое полное и прочное знакомство с «низшими предметами» подразумевает некоторую способность использовать их принципы на практике, короче говоря, это предполагает наличие таких математических способностей, которые заставляют студентов стремиться  к высоким отличиям в математике. (Я говорю, что это общее правило, потому что иногда попадаются студенты с талантом именно к низшим математическим предметам, с этаким математическим полуталантом, которые могут довести свои «низшие предметы» до совершенства, но терпят неудачу, когда переходят к «высшим»). Не-математик должен готовить в два раза больше того, что он надеется сделать; он редко может быть уверен в чём-либо, кроме Евклида и Ньютона, или рассчитывать на то, что ему удастся дать правильные ответы на более чем половину вопросов по любому другому подготовленному им предмету. Не может он с уверенностью рассчитывать и на то, что сумеет решить хотя бы одну задачу, хотя, с другой стороны, он может обнаружить в работе целых три, которые ему по силам. Обычно его амбиции ограничиваются дополнительными задачами (riders), которые представляют собой нечто вроде комментариев или лёгких примеров к теоретическим вопросам, своего рода связующее звено между теорией и решением задач; такая дополнительная задача, как явствует из её названия (rider (англ.) – наездник), прилагается к вопросу, и ответ на него не считается полным без её решения. Из собственного опыта могу сказать, что работу по Евклиду или Ньютону я мог сделать полностью, а по любому другому предмету, включая теорию и дополнительные задачи-«наездники», мог набрать половину возможных баллов. Самая высокая степень, полученная без изучения дифференциального исчисления, о которой мне доводилось когда-либо слышать, была 10-м местом Старшей Оптимы, иными словами, в первой четверти второго класса. Для этого потребовался не только ум, но и необыкновенное везение. В общем же случае человек, у которого есть какие-то претензии на место в Старшей Оптиме, даже на одно из самых низших, просто чтобы обеспечить себе право претендовать на Медаль, должен хоть немного изучить дифференциальное исчисление (термин «флюксии» никогда не употребляется), так чтобы он мог дать ответы на несколько вопросов по самому предмету и хоть немного использовать его в других областях.

Когда я стал чувствовать себя в математике немного увереннее, моё желание работать над «классикой» возросло, пример окружающих увлекал меня вслед за ними, а здоровье бесспорно улучшилось, поэтому я попробовал устроить «спурт»*, или то, что могло считаться таковым для меня. Начав с пяти с половиной часов, я прибавлял по полчаса к своему рабочему времени каждые три-четыре дня, пока, наконец, не достиг семи часов, и оставался на этой точке в течение недели, а потом вдруг сломался, обессилел и вынужден был несколько дней лежать, ничего не делая, и набираться сил. После этого я не пытался больше работать более пяти часов в день до самого экзамена по математике; до этого времени я распрощался также и с «классикой». Это было уже в самом конце каникул и незадолго до начала нашего последнего студенческого триместра.

* спурт – спортивный термин, означающий резкое кратковременное увеличение темпа движения, рывок.

В целом жизнь на этих последних длинных каникулах нельзя было назвать неприятной; мне было на что пожаловаться, а это всегда обеспечивает темой для разговора; погода стояла восхитительная, да ещё прибавим к этому приятные прогулки верхом, шерри-коблеры время от времени и лёгкое возбуждение, как от какой-нибудь безобидной азартной игры, которое ощущает человек, готовящийся к экзамену, который ему нужно как-нибудь сдать, чтобы отличиться затем на другом экзамене.

Предыдущая

Следующая